KATA PENGANTAR
Puji
syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat dan
hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah yang berjudul “Logika dan Teori Himpunan” dengan
baik. Penulisan makalah ini bertujuan guna memenuhi salah satu tugas mata
kuliah.
Makalah
ini disusun berdasarkan data-data yang penulis peroleh dari buku, serta
infomasi dari media massa yang berhubungan dengan metode-metode pembelajaran.
Tak lupa kami ucapkan terimakasih kepada Dosen Pembimbing atas arahan dan
bimbingan dalam penulisan makalah ini. Juga kepada rekan-rekan mahasiswa yang
telah mendukung sehingga dapat terselesaikannya makalah ini.
Penulis
menyadari sepenuhnya bahwa makalah ini
masih jauh dari sempurna. Untuk itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang
membangun dari semua pihak demi kesempurnaan makalah berikutnya. Semoga makalah ini mampu memberikan manfaat
bagi para pembaca.
Lamongan, 13
Januari 2014
Penulis
DAFTAR ISI
v Halaman Judul
v Kata Pengantar……………………………………………………………. i
v Daftar isi…………………………………………………………………... ii
v BAB I ( PENDAHULUAN )
Ø A. Latar
Belakang…………………………………………………… 1
Ø B. Rumusan
Masalah………………………………………………... 2
Ø C. Tujuan Pembahasan……………………………………………… 2
v BAB II ( PEMBAHASAN )
Ø A. Pengertian
Logika dan Teori Himpunan ..……………………….
3
Ø B. Diagram
Ven untuk himpunan dan pernyataan………… ..…....... 4
Ø C. pengaplikasian
teori himpunan pada argumaen..………………… 7
Ø D.
menggunakan Logika dalam pembuktian konsep-konsep teori himpunan..……………………………………………….……… 9
v
BAB
III ( PENUTUP )
Ø A. Kesimpulan …………………………………………………….... 12
Ø B. Saran …………..…………………………………………………. 12
v Daftar Pustaka………………………………………………………….…. 13
v Lampiran-lampiran
BAB 1
PENDAHULUAN
PENDAHULUAN
I. Latar belakang
“Himpunan dan logika”. Dua kata penuh
pertanyaan. Beberapa orang belum mengetahui apa arti sebenarnya dari himpunan
dan logika sehingga kadang-kadang orang itu salah mengartikannya. Sebenarnya
kata himpunan dan logika itu erat kaitannya dengan pengelompokkan dan nalar .
“Betulkah?” Ya, betul bagi beberapa orang yang telah mengetahui kaitan himpunan
dan logika dengan pengelompokkan dan nalar ini akhirnya bisa menyimpulkan
sendiri meskipun belum bisa mendeksripsikannya secara jelas .Pada abad ke_18
Masehi, G.W.Leibniz. ahli matematika berkebangsaan Jerman, pertama kali
mempelajari logika . Ahli matematika yang lainnya yang berjasa dalam
pengembangan logika adalah George Boole, Leonard Euler, dan Bertrand Russel.
Melalui logika kita dapat mengetahui kebenaran
suatu pernyataan dari suatu kalimat dan mengetaui apakah pernyataan pertama
sama maknanya dengan pernyataan kedua. Misalkan, apakah pernyataan “jika
sekarang adalah hari minggu maka sekolah libur?” untuk menjawab pertnayaan ini
tentu kita perlu mengetahui aturan –aturan dalam logika. Contoh lain, misalkan
ada dua pernyataan “jika anak pandai maka ia berprestasi di kelas. Jika ia
berptrestasi di kelas maka ia di sayangi guru-gurunya?”Banyak hal yang perlu
kita ketahui mengenai logika. Dengan logika kita dapat mengetaui apakah suatu
pernyataan bernilai benar atau salah. Hal terpenting yang akan didapatkan
setelah mempelajari logika matematika adalah kemampuan atau keahlian mengambil
kesimpulan dengan benar atau salah. Logika matematika memberikan dasar bagi
sebuah pengambilan kesimpulan dan dapat dalam banyak aspek kehidupan.
Sedangkan yang berkaitan dengan himpunan
akhirnya berhubungan dengan masalah sampah juga. Ketika suatu tempat sampah
tertulis : “Sampah basah”, beberapa orang masih saja salah membuang sampah di
tempat yang tidak sesuai dengan labelnya. Mereka tidak mempedulikan arti dari himpunan
“Sampah basah” itu. Mereka belum mengerti secara jelas karena mereka belum
menguasai konsep dasarnya, yaitu himpunan. Kita harus melakukan 3M , “Mulai
dari diri sendiri” , “Mulai dari kecil/dini” , dan “Mulai dari sekarang”.
II. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, maka penulis
merumuskan beberapa masalah sebagai berikut:
1.
Bagaimanakah pengertian himpunan dan logika itu?
2.
Apa manfaat dari logika dan himpunan dalam
kehidupan sehari-hari?
3.
Bagaimana
sejarah dari logika dan himpunan?
III. Tujuan Penulisan
Berdasarkan
rumusan masalah di atas, maka adapun tujuan penulis dalam merumuskan masalah
tersebut, yaitu sebagai berikut:
1.
Untuk mengetahui pengertian dari logika dan
himpunan.
2.
Untuk mengetahui manfaat dari logika dan
himpunan.
3.
Untuk mengetahui sejarah terciptanya logika dan
himpunan.
BAB II
PEMBAHASAN
A.
PENGERTIAN LOGIKA DAN TEORI HIMPUNAN
Logika
merupakan studi penalaran (reaoning) yang di fokuskan pada hubungan antara
penyataan (statements). Hukum logika dapat membantu membedakan antara argument
yang valid atau tidak.
Sedangkan Himpunan
/ set adalah kumpulan objek yang berbeda dan dari suatu segi ditanggapi sebagai
suatu kesatuan. Biasanya himpunan ditandai dengan kurung kurawal{ }.
Objek-obyek yang berada di dalam himpunan
tersebut masing-masing disebut Elemen atau Anggota set.
Himpunan dinyatakan dengan diagram Ven.
Terdapat berbagai macam hipunan diantaranya Himpunan kosong, himpunan bagian,
himpunan sama, hmpunan ekivalen, himpunan saling asing dan himpunan kuasa.
Himpunan Kosong merupakan Himpunan yang tidak memiliki satu
anggotapun disebut dengan void set atau emty set . Lambang himpunan kosong
adalah { } dan φ.
Himpunan Bagian (subset) Himpunan A disebut himpunan bagian
dari himpunan B apabila seluruh elemen A menjadi elemen B dan ditulis dengan
notasi A
B. Bila A bukan
himpunan bagian B ditulis dengan A
B. Himpunan sama apabila Dua
himpunan P dan Q dikatakan sama (equal) jika
mereka mempunyai unsur-unsur yang sama. Himpunan ekivalen, himpunan P dan Q dikatakan ekivalen bila dan
hanya bila kedua himpunan tersebut mempunyai kardinal yang sama. Himpunan
saling asing, Himpunan P dan Q
dikatakan saling asing apabila
kedua himpunan tidak memiliki elemen yang sama. Sedangkan himpunan kuasa adalah
himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari himpunan tersebut
termasuk himpunan kosong. Adapun sifat Himpunan meliputi:
1.
OPERASI PADA HIMPUNAN :
Dua buah himpunan dapat dioperasikan (dengan operasi biner) sehingga
menghasilkan suatu himpunan baru sebagai hasil operasi tersebut. Operasi
tersebut adalah irisan (intersection) dan gabungan (union). Satu
himpunan dapat dioperasikan (dengan operasi uner) sehingga menghasilkan
himpunan baru. Operasi tersebut adalah komplemen.
2.
IRISAN DUA HIMPUNAN :
Irisan dua himpunan A dan B adalah A
B yang merupakan himpunan semua elemen semesta x
sehingga x
A dan x
B, atau dapat
ditulis dengan notasi pembentuk himpunan A
B = {x
U : x
A dan x
B}.
3.
GABUNGAN DUA HIMPUNAN :
Gabungan dua himpunan A dan B adalah A
B yang merupakan himpunan semua elemen semesta x
sehingga x
A atau x
B, atau dapat
ditulis dengan notasi pembentuk himpunan A
B = {x
U: x
A atau x
B}.
4.
KOMPLEMEN HIMPUNAN :
Komplemen dari suatu himpunan A adalah himpunan A’ atau Ac yang
memuat semua elemen semesta x yang bukan elemen A, atau dapat ditulis dengan
notasi pembentuk himpunan A’ = { x
U: x
A}.
B. DIAGRAM
VENN UNTUK HIMPUNAN DAN PERNYATAAN
Cara untuk mempermudah memahami hubungan antara
himpunan-himpunan, dan untuk memvisualisasikan bagaimana operasi-operasi
himpunan bekerja adalah dengan menggunakan DIAGRAM VENN. Umumnya suatu himpunan
digambarkan dalam diagram venn daerah yang dibatasi oleh kurva tertutup,
misalnya lingkaran atau persegi panjang. Penggambaran dalam diagram venn
digunakan untuk ilustrasi hubungan antara operasi-operasi himpunan dan
demonstrasi secara phisik kebenaran suatu teorema dalam teori himpunan.
Walaupun demikian hasil dari diagram venn umunya tidak dapat dipakai sebagai
bukti kebenaran suatu teorema.
ILUSTRASI OPERASI
HIMPUNAN : Metode yang disepakati dalam diagram venn untuk menggambarkan
himpunan dengan memakai daerah arsiran. Secara khusus persegi panjang dipakai
untuk menggambarkan universal set dan himpunan-himpunan bagian dari U dengan
memakai lingkaran. Komplemen dari himpunan adalah bagian dari universal set
yang tidak di himpunan.
Diagram venn untuk
operasi himpunan irisan dan gabungan pada dua himpunan A dan B digambarkan sebagai
berikut:
Hukum De’Morgan dapat digambarkan dengan Diagram Venn sebagai berikut:
Diagram venn untuk
hubungan tiga himpunan, Apabila ada 3 himpunan A, B dan C maka kita bisa
menggambarkan hubungan antara ketiganya dengan diagram venn sebagai berikut:
 |
Karena pernyataan sehari-hari yang
kita gunakan dan juga pernyataan yang kita jumpai dalam logika sering kali
membicarakan kumpulan dari obyek-obyek. Maka teori himpunan sering kali dapat
diaplikasikan pada logika. Banyak pertanyaan verbal yang dapat diterjemahkan
kedalam bahasa himpunan menjadi pernyataan-pernyataan yang ekivalen dan dengan
demikian dapat dibuat ilustrasinya denga diagram venn. Oleh karena itu diagram
venn sering kali dipakai untuk menentukan validitas suatu argument. Untuk lebih
lanjut, perhatikanlah pernyataan berikut:
“ Anita adalah pemain bulu tangkis
dan basket”.
Dari pernyataan diatas dapat
dinyatakan dalam bahasa himpunan sebagai:
“Anita adalah anggota
himpunan pemain bulu tangkis atau anggota himpunan pemain basket”.
Jadi Anita adalah anggota persekutuan dari (
ppemain bulu tangkis) dan (
pemain basket).
Banyak pernyataan yang dapat
diterjemahkan kedalam bahasa teori himpunan. Keuntungan penterjemahan ini
adalah dapat digunakannya hal-hal yang dapat diketahui dalam teori himpunan
untuk menarik konklusi dari pernyataan-pernyataan itu. Atau dengan kata lain, jika kita dapat
menterjemahkan premis-premis suatu Argumen kedalam bahasa himpunan, maka kita
dapat menggunakan teori himpunan untuk menentukan valid tidaknya argument itu.
Dengan
demikian jika pernyataan-pernyataan dalam percakapan sehari-hari dapat
diterjemahkan kedalam bahasa hmpunan, berarti dapat pula digambarkan dalam
diagram venn dengan tepat, yang dapat mmbantu kita menarik konklusi dari
pernyataan-pernyataan itu.
Himpunan
semesta pernyataan-pernyataan atau argumentasi yang sedang dibicarakan
adalah himpunan semua objek yang
dibicarakan.
Dari
pernyataan diatas sebenarnya banyak pernyatan yang tampaknya sukar dan komplek
dapat diterjemahkan kedalam bahasa himpunan. Hampir semua pernyataan dapat
dinyatakan kedalam bahasa himpunan, tetapi terjemahan itu harus tepat sama
dengan apa yang diungkapkan pernyataan asli. Tidak lebih dan tida kurang.
Demikian juga dengan mengkontruksi diagram venn yang sesuai dengan pernyataan
itu, tidak bleh menambahka atau mengurangi sesuatu pada diagram itu, yang tidak
diungkapkan oleh pernyataan aslinya.
C.
PENGAPLIKASIAN TEORI HIMPUNAN PADA
ARGUMEN
Pada bagian ini kita akan
menterjemahkan premis-premis dan konklusi suatu argument kedalam bahasa
himpunan, kemudian menggunakan apa yang ita ketahui tentang teori hipunan untuk
menentukan apakah konklusi tersebut benar-benar diperoleh dari penurunan
terhadap premis-premis yang ada. . Perhatikan argument berikut:
Premis 1: bayi adalah orang yag tidak dapat berpikir
lohis.
Premis
2: tidak seorang pun yang kurang percaya
diri dapat mengalahkan buaya
Premis
3: orang yang tidak dapat berpikir logis
adalah kurang percaya diri.
Konklusinya
dalah bayi tidak dapat mengalahkan buaya.
Berikut
penerapan Diagram venn yang cocok untuk argument diatas:
a. Diagram venn untuk premis 1:
b.. Diagram venn untuk premis ketiga:
c. Diagram
Venn untuk premis 2:
Terlihat
bahwa himpunan bayi dengan himpunan orang yang dapat mengalahkan buaya adalah
saling lepas. Jadi “ bayi tidak dapat mengalahkan buaya” adalah konklusi dari
premis-premis diatas, dengan kata lain argument diatas valid.
D. MENGGUNAKAN
LOGIKA DALAM PEBUKTIAN KONSEP-KONSEP TEORI HIMPUNAN
Hubungan antara notasi himpunan dengan
symbol-simbol logika tampak sangat jelas. Jika
maka
(baca:
x adalah anggota dari A
B maka
ada di
A atau
ada di B). sedangkan jika
maka
dan
(baca:
x adalah anggota dari A
B maka
ada di
A dan
ada di B).
Dari
pembuktian diatas terlihat bahwa logika sangat berguna. Pembuktian seperti
diatas terjadi disetiap cabang matematika.
BAB 3
PENUTUP
1. Kesimpulan
Dengan
melakukan penelitian ini, kita bisa menyimpulkan:
a.
Himpunan adalah kumpulan obyek yang
terdefinisikan syarat-syaratnya secara
jelas.
b.
Himpunan dapat dinyatakan dalam 3 cara,yaitu :
·
Secara
Verbal/Kata-kata
·
Secara
Tabulasi/Mendaftar
·
Secara
notasi
·
Dalam
menentukan himpunan atau bukan, kita harus memperhatikan syarat yang jelas
·
Dalam menentukan anggota, kita harus melihat
kondisi soal yang ada atau bisa juga dengan melihat pengelompokkan sampah yang
tadi sudah dijelaskan.
Sedangkan
logika adalah cabang ilmu matematika yang mengandung kajian matematis logika
dan aplikasi kajian ini pada bidang-bidang lain di luar matematika. Logika
matematika berhubungan erat dengan ilmu komputer dan logika filosofis. Tema
utama dalam logika matematika antara lain adalah kekuatan ekspresif dari logika
formal dan kekuatan deduktif dari sistem pembuktian formal. Logika matematika
sering dibagi ke dalam cabang-cabang dari teori himpunan, teori model, teori
rekursi, teori pembuktian, serta matematika konstruktif.
2. Saran
Sebaiknya kita terus berlatih membuat makalah
sehingga kita bisa menjadi seorang pembuat makalah atau karya ilmiah yang baik
dan benar.
DAFTAR
PUSTAKA
http://collegerlearn.blogspot.com/2012/06/belajar-himpunan-matematika
Diskrit .html diakses tanggal 19
januari 2014.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar